Analisi delle forze in gioco ...

Proviamo a fare una piccola analisi di quelle che sono le forze che agiscono sulla sezione di una pala del nostro generatore, fedele al principio spiegato in questo precedente post. 
http://oawindgenerator.blogspot.it/2017/02/nuovo-concetto-di-pala-eolica.html

Analisi statica della ripartizione di portanza e resistenza

Partiamo dall'analisi della macchina a fermo: Si suppone quindi nulla la velocità angolare della pala intorno all'asse principale ω = 0.

I valori di portanza e resistenza sono funzioni dipendenti dell'incidenza della pala rispetto alla direzione del vento, per semplicità nell'analisi della ripartizione scriviamo solo P e R per indicare le funzioni P(i) e R(i) con i = angolo di incidenza.

Le formule che descrivono la portanza e la resistenza sono :

P(i)=Cp(i) ρ S V^2 

R(i)=Cr(i) ρ S V^2

Ripartizione resistenza

Definiamo:b la distanza della pala dall'asse principale, α l'angolo che descrive la posizione della

pala e V la velocità del vento reale.

Calcoliamo la lunghezza del braccio in funzione di α : b=2 r abs((sin( α/2 ))) .

Calcoliamo la resistenza della pala lungo la tangente del cerchio che rappresenta la direzione in cui la pala è libera di muoversi :R' = R cos(α), l'altra componente ortogonale è annullata dal vincolo (la pala si muove solo sul cerchio...).

Calcoliamo il momento rispetto all'asse principale: 

        

          M = b*f = b*R' = - 2 r R cos(α) ∣sen(α/2)∣

Da questa formula ricaviamo che:

per α = 0° si ha b = 0 , quindi M = 0;

per α = 90° si ha R' = 0 in quanto R è perpendicolare alla direzione della pala , quindi M = 0;

per α = 180° si ha b = 2r , R ha valore massimo ed è uguale a R' .

per α = 270° si ha R' = 0 in quanto R è perpendicolare alla direzione della pala , quindi M = 0;

per -90°<α<90° la resistenza si oppone al moto della pale e si annulla per α = 0° .

Possiamo osservare che in fase di partenza,quindi a velocità angolare nulla della pala, la resistenza al vento contribuisce negativamente allo spostamento della pala per un semiciclo ( -90°> α < 90° ) in cui il braccio è però più piccolo e la resistenza stessa è più bassa per via della posizione trasversale al vento della pala . 

Contrariamente con 90° > α < 225° si ha una contribuzione positiva della componente resistiva sul semiciclo che ha braccio più lungo.

Supponendo lineare la relazione tra coefficiente di resistenza e angolo di incidenza con valore max di R = 1, ponendo b (max) = 1 e S = 1 si ha l'andamento come in figura:

Ripartizione della portanza

Proviamo a fare similmente l'analisi per la portanza generata dalla pala :

Definiamo β = α – 90° come l'angolo compreso tra il vettore Portanza e la direzione della pala (tangente circonferenza alla posizione α ).
Possiamo scrivere la componente P' della portanza come P' = P cos(β).
Osserviamo che :
per α = 0° si ha b = 0 ,==> M = 0;
per α = 45° => M è circa = 0.268 * 2r* P(i) ==>quindi contribuisce al moto
per α = 90° => M è circa = 0.707 * 2r* P(i) ==> contribuisce al moto
per α = 180° => M = 0 in quanto P è perpendicolare al direzione della pala.
per α = 225° => M è circa = -0,65 * 2r *P(i) , tenendo conto che P inverte il verso si ha ancora che la portanza contribuisce al moto della pala nel senso voluto.
Possiamo quindi affermare che, a bocce ferme, l'apporto della portanza al moto della pala è sempre positivo tranne per α = 0° e α = 180° in cui si annullano rispettivamente il braccio e la portanza.
Riportiamo rispettivamente i grafici relativi al contributo della portanza ( |cos ( β )| * |sin( α/2)| ) in base all'angolo α e, approssimativamente, il valore del coefficiente di portanza ( Cp (i) ) in base all'angolo di incidenza
( α/2) per una superficie piana:

Contributo della portanza

andamento approssimativo coefficiente portanza

Dal prodotto dei due grafici si ottiene l'andamento della forza trasmessa alla macchina dalla portanza.
 Il picco della portanza si ha con un angolo di incidenza di circa 15° (superficie piatta) che corrisponde a α = 30° dove il contributo della portanza al movimento della pala è dell' 70~80% circa.

Funzionamento dinamico

Per comprendere tale analisi è importante aver compreso il concetto di vento apparente (https://it.wikipedia.org/wiki/Vento_apparente)

Nell'immagine sopra proviamo a stabilire com'è posizionato il vettore vento apparente (v') rispetto alla pala quando la velocità tangenziale della (sezione della) pala è prossima alla velocità del vento reale (v):

Si può notare come all'avvicinarsi della velocità tangenziale a quella del vento il vettore v' tende a formare una angolo più piccolo rispetto al profilo della pala (i => 0°) , in conseguenza di ciò : 

• La resistenza tende a diminuire considerevolmente e il suo vettore tende a ruotare in senso antiorario .

• La portanza occupa un ruolo principale nel generare forza da cedere alla macchina e migliora l'efficienza con l'avvicinarsi ad un angolo di incidenza di 15° (resa massima della portanza, vedi immagine a sinistra) che si ottiene con velocità tangenziale uguale ~ %96 della velocità del vento reale.
• Nel caso limite cioè Vel.tà Tangenziale = Vel.tà reale del Vento si ha sia Resistenza che Portanza nulle, mentre con velocità tangenziale appena sotto la velocità del vento si ha alta efficienza dovuta alla portanza, e resistenza che tende a zero.

conclusioni

La macchina si comporta come i generatori resistivi (es Savonius) ad asse verticale con funzionamento a resistenza in fase di avvio, questo comporta anche un vento di avvio più basso (velocità taglio inferiore).
Man mano che la velocità aumenta, il comportamento si avvicina invece a quello delle pale eoliche ad asse orizzontale, dove la portanza diventa componente principale nella generazione della forza che contribuisce attivamente al moto della pala.

In un prossimo post proveremo a fare alcune valutazioni su possibili profili alari adatti a migliorare l'efficienza e la stabilità.